逍遙遊

維度：

點是零維
線是一維

面是二維

體是三維

碎形維度說的就是1.6維度、0.7維度等等之類的概念。

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碎形

先從碎形開始說起，碎形指得就是就是破碎的形狀。

知識起源於自然，破碎的形狀在我們日常生活中比比皆是。

例如我現在坐著的書房外面可以看到好幾棵榕樹，榕樹的形狀就有點破碎。小朋友畫樹的時候通常不會畫出一棵樹真正的樣子，常常都是中間一根咖啡色的彩色筆，然後外面一圈綠色搞定。
（這其實就是一種微分的概念）

但是如果我們要求小朋友很精準的畫出一棵幾乎一模一樣的樹會怎麼樣？

要畫得更精準更像當然就得靠得更近，才能看得清楚。然後小朋友會說，這外面一圈綠色好複雜，我不畫了！

是的，樹的形狀就是一種碎形。但是，這種碎形是小朋友等級的。

對於高超的工筆畫家來說，他真的可以畫出每一片葉子。甚至，3D顯像透過不同角度的擷取與電腦的運算，重現一棵每片葉子分明的樹給你都是可能的。

所以，樹的形狀不夠碎，不是我們要說的碎形。從書房的距離看起來，樹梢的形狀或許破碎，但是爬到樹上就會發現就是一片片的葉子與枝枒組成，其實沒那麼碎裂。

我們來講一個經典的碎形，來自1967年發表在Science的一篇論文：英國的海岸線有多長？

海岸線是自然界中一個經典的碎形，不論從衛星來看，或是拉到即將降落的飛機上，或是直接站在沙灘上來看，它都是破碎的。再怎麼會運算的電腦，都無法描繪出它真正的複雜，它是一條線，卻是一條無法被窮盡的線。

因為它的複雜與破碎使得它不再是一維，而是更多。

自然界裡頭碎形的例子還有原始的地面，我們從高空看覺得它崎嶇不平，而它得崎嶇不平真的很複雜，以至於我們趴在地上看的時候還是崎嶇不平。
（這也是為什麼，如果我們願意，一張地面圖的檔案資訊量，可以遠大過一幅清明上河圖。）

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碎形維度

為了可以掌握碎形維度的概念，我使用人造的碎形來說明。

皮亞諾曲線（Peano curve）

皮亞諾曲線是一條無限長的曲線，根據皮亞洛的設計，我們是不可能畫出來這條曲線的，因為他給定了一個無限循環的畫法。

我們只能畫幾個循環來讓眼睛見識一下而已。

https://zh.wikipedia.org/wiki/皮亚诺曲线

我們可以發現，畫個三個循環的皮亞若曲線幾乎就是整張畫面密密麻麻了。

而事實上是，在數學上的計算裡，無循環畫下去的皮亞若曲線根本就是一個面了。於是，皮雅諾曲線是一條二維的線！

接下來，我們再舉一個人造的碎形線條：科赫曲線

https://zh.wikipedia.org/wiki/科赫曲線
https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity (右邊的動畫)

這條線也是無限循環的畫法。但是我們可以發現，這條線沒有剛剛那條複雜，它看起像是可以雪花的圖案，只不過它的無限循環使得我們不管再怎麼放大，它都仍是雪花的曲線。

這條曲線也是無限長，但是，我們不會說它是二維的，因為不需要計算，我們也可以斷定它不會填滿整個空間。經過計算，它的維度是1.26…，一個一點二多維的無理數。

很饒口，不是一維，不是二維，是一點二多維的曲線。

讓我們回到海岸線上面，經過我不懂的數學，據說英國西岸海岸線的維度是1.25，而南非海岸線的維度為1.02。

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討論與應用

1. 碎形維度被用來理解複雜，用來作為大數法則的反例。例如在「黑天鵝效應」這本書裡面提到的。簡言之，大數法則之所以成立來自成員間彼此的不相似性，於是咖啡杯裡各自做著無限複雜的高斯運動的分子加總起來，就是一杯平靜不會動的咖啡。

2. 大數法則來自成員間的隨機表現，然而，反而因為這些成員間的隨機表現，使得大樹法則可以“保證”這個集合的長期穩定性。例如擲骰子的期望值最後會落在3.5。

https://zh.wikipedia.org/wiki/大数定律

3. 碎形恰恰相反。不論我們是在高空還是雙腳站在海邊，我們看到的海岸線樣子都差不多。或是從一張照片看原始的地表，我們無法分辨這是在多遠的距離上拍攝的。碎形講的是自我親似（self-affinity）：葉脈像樹枝、樹枝像樹、沙子像岩石、岩石像是小山。

4. 這種自我親似的特性隱含了電腦，或更具隨機性的大自然，可以用一個簡短到令人難以置信的重複法則，建造出看起來極為複雜的形狀。
（之前在電視上看過，假定一個很簡單的運算規定來規定電腦上的某一點該明或暗，在某個對的初始設定上，就可以形成像生命般生生不息的無限發展。）

5. 應用。
其實我還不懂碎形概念的全貌，但是我隱約可以知道「黑天鵝效應」試圖傳達的訊息：我們的世界使用了許多統計，我們自己也在使用統計，然而，這些統計背後的預設我們從不加以追問，我們以為世界就只有一種預設。這麼做會有一些危險：例如玩股票的使用技術分析時，對於這些預設掌握得透徹嗎？那些上上下下的曲線是碎形，還是如你以為的是遵守大數法則統計理論呢？
6. 黑天鵝的中心思想：我們不知道我們不知道。

7. 思想的世界實在是無窮無盡，有點可惜在我們義務教育的學習過程中，大部份的你我對此毫無所悉。